Réponse (99 nombre non premiers consécutifs) : 100! + 2 ... 100! + 100
Hé oui, pour i dans [| 2 , 100 |], 100! + i est divisible par i donc n'est pas premier.
On peut remplacer 100! par le produit des 100 premiers nombres premiers.
Et pour l'infinité des nombres premiers ?
Pour (a,b) ∈ N+*×Z,
on pose Na,b = { a*k + b, k∈Z }
= { x∈Z, x ≡ b [a] }
On définit la topologie suivante sur Z : X est un ouvert si X est vide ou si
pour tout élément b de X il existe a>0 tel que Na,b soit dans X.
(i) tout ouvert non vide est infini (clair)
(ii) les Na,b sont ouverts (clair) et fermés, car Na,b=Z -
b-1
U Na,b+i
i=1
.
Z - {-1,1} =
U Np,0
p∈P
.
Ainsi, si P était fini, Z - {-1,1} serait une union finie de fermés (ii) ;
et donc un fermé. Donc {-1,1} serait ouvert, ce qui contredit (i)... ■