Projet Euler



Le projet Euler est une série de défis, de difficulté croissante, mêlant mathématiques, algorithmique, et programmation. Chaque problème possède une unique solution qu'il s'agit de découvrir par soi-même, ce qui permet d'accéder à un forum consacré aux différentes approches menant à sa résolution. L'ensemble constitue une sorte de parcours initiatique, en ce sens que la résolution des énigmes les plus simples octroie progressivement au joueur des mécanismes préparant à celle des plus complexes.


Les premiers problèmes sont présentés sur cette page. Il existe une version française du projet Euler : EulerDZ.

Note : L'ensemble des entiers naturels désigne ici l'ensemble des entiers naturels non nuls.


Problème 1

Si nous listons les entiers naturels strictement inférieurs à 10 multiples de 3 ou de 5, nous obtenons 3, 5, 6 et 9. La somme de ces multiples est 23.

Trouve la somme de tous les multiples de 3 ou de 5 strictement inférieurs à 1000.

Problème 2

Chaque nouveau terme d'une suite de Lucas est obtenu en additionnant les deux termes le précédant. La suite de Lucas dont les deux premiers termes sont 1 et 2 est une sous-suite de la suite de Fibonacci et a pour dix premiers termes :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Trouve la somme de tous les termes pairs de cette suite n'excédant pas quatre millions.

Problème 3

Les facteurs premiers de 13195 sont 5, 7, 13 et 29.

Quel est le plus grand facteur premier de 600851475143 ?

Problème 4

Un nombre palindrome se lit identiquement dans les deux sens. Le plus grand nombre palindrome issu du produit de deux nombres à 2 chiffres est 9009 = 91 ⨉ 99.

Trouve le plus grand nombre palindrome issu du produit de deux nombres à 3 chiffres.

Problème 5

2520 est le plus petit entier divisible par tous les nombres de 1 à 10.

Quel est le plus petit entier divisible par tous les nombres de 1 à 20 ?

Problème 6

La somme des carrés des dix premiers entiers naturels est :

12 + 22 + ... + 102 = 385

Le carré de la somme des dix premiers nombres naturels est :

(1 + 2 + ... + 10)2 = 552 = 3025

Donc la différence entre la somme des carrés des dix premiers entiers naturels et le carré de leur somme est 3025 − 385 = 2640.

Trouve la différence entre la somme des carrés des cent premiers entiers naturels et le carré de leur somme.

Problème 7

En observant la liste des six premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, et 13, nous voyons que le 6e nombre premier est 13.

Quel est 10001e nombre premier ?

Problème 8

Trouve le plus grand produit de cinq chiffres consécutifs dans ce nombre à 1000 chiffres.

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Problème 9

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers naturels, a < b < c, pour lequel

a2 + b2 = c2

Par exemple, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Il existe exactement un triplet pythagoricien pour lequel a + b + c = 1000.
Trouve le produit abc.

Problème 10

La somme de tous les nombres premiers inférieurs à 10 est 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Trouve la somme de tous les nombres premiers inférieurs à deux millions.

Problème 11

Dans la grille 20⨉20 ci-dessous, quatre nombres diagonalement adjacents ont été colorés en rouge.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Le produit de ces nombres est 26 ⨉ 63 ⨉ 78 ⨉ 14 = 1788696.

Quel est le plus produit de quatre nombres adjacents selon n'importe quelle direction (horizontale, verticale, ou diagonale) dans la grille ?

Problème 12

La suite des nombre triangulaires est générée en additionnant les n premiers entiers naturels. Ainsi le 7e nombre triangulaire est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Les dix premiers sont :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Listons les diviseurs des sept premiers nombre triangulaires :

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Nous pouvons voir que 28 est le plus premier nombre triangulaire à avoir plus de 5 diviseurs.

Quel est la valeur du plus petit nombre triangulaire possédant plus de cinq cents diviseurs ?

Problème 13

Quels sont les dix premiers chiffres de la somme des nombres à 50 chiffres qui suivent ?

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

Problème 14

Pour chaque entier naturel, on définit la suite itérative suivante :

n → n/2 (n pair)
n → 3n + 1 (n impair)

En appliquant cette règle en commençant avec 13, la suite générée est :

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Cette séquence, débutant à 13 et finissant à 1, contient 10 termes. Bien que ce n'ait pas encore été démontré (problème de Collatz, ou conjecture de Syracuse), il est conjecturé que pour tout entier initial la suite générée finit à 1.

Quel entier initial strictement inférieur à un million produit la plus longue chaine ?

Note : les termes intermédiaires peuvent dépasser un million.

Problème 15

En commençant au coin nord-ouest de cette grille 2⨉2, il y a 6 chemins (sans retour vers l'arrière) jusqu'au coin sud-est.

Combien de chemins y a-t-il pour une grille 20⨉20 ?

Problème 16

215 = 32768 et la somme des chiffres de ce nombre est 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Quelle est la somme des chiffres de 21000 ?

Problème 17

En anglais, si les nombres de 1 à 5 sont écrits en toutes lettres : one, two, three, four, five, alors il y a 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 lettres utilisées au total.

Si tous les nombres de 1 à 1000 (one thousand) étaient écrits en toutes lettres, combien de lettres seraient utilisées ?

Note : Les espaces et tirets ne comptent pas. Par exemple, 342 (three hundred and forty-two) contient 23 lettres, et 115 (one hundred and fifteen) contient 20 letters. L'utilisation de "and" est faite conformément à l'usage britannique en vigueur.

Problème 18

En partant du sommet du triangle ci-dessous et en descendant suivant des nombres adjacents, le total maximal de haut en bas est 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

De fait, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Trouve le total maximal de haut en bas pour le triangle ci-dessous :

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Note : Il n'y a que 16384 chemins différents, donc il est possible de résoudre ce problème en essayant chaque chemin. Cependant, le problème 67 est le même défi avec un triangle de cent lignes ; la force brute est (pour l'instant) inefficace, une méthode plus intelligente est requise ;o)

Problème 19

Les informations suivantes te sont données, mais tu préfères peut-être rechercher cela par toi-même.

Combien de dimanches sont tombés le premier jour du mois au cours du vingtième siècle (du 1er janvier 1901 au 31 décembre 2000) ?

Problème 20

n! (prononcé factorielle n) signifie n ⨉ (n − 1) ⨉ ... ⨉ 3 ⨉ 2 ⨉ 1.

Trouve la somme des chiffres du nombre 100!.

Problème 21

Soit d(n) la somme des diviseurs propres de n (les diviseurs de n strictement inférieurs à n).
Si d(a) = b et d(b) = a, où a ≠ b, alors a et b forment une paire amicale et chacun des a et b est appelé nombre amical.

Par exemple, les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110 ; donc d(220) = 284. Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142 ; ainsi d(284) = 220.

Trouve la somme de tous les nombres amicaux inférieurs à 10000.

Problème 22

Le fichier names.txt contient plus de cinq mille prénoms anglo-saxons. Commence par le trier par ordre alphabétique. Puis après avoir calculé la valeur alphabétique de chaque prénom, multiplie cette valeur par sa position dans la liste alphabétique pour déterminer son score.

Ainsi, lorsque la liste est triée par ordre alphabétique, COLIN, qui vaut 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53, est le 938e prénom dans la liste. Donc COLIN obtiendrait un score de 938 ⨉ 53 = 49714.

Quelle est la somme des scores de tous les prénoms du fichier ?

Problème 23

Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, la somme des diviseurs propres de 28 est 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, ce qui montre que 28 est un nombre parfait.

Un nombre n est dit déficient si la somme de ses diviseurs propres est < n et abondant si cette somme est > n.

Puisque 12 est le plus petit nombre abondant (1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16), le plus petit nombre pouvant être écrit comme somme de 2 nombres abondants est 24. Une analyse montrerait que tous les entiers strictement supérieurs à 28123 peuvent être écrits comme somme de deux nombres abondants. Cependant, cette limite ne peut être abaissée par analyse bien qu'il soit connu que le plus grand nombre ne pouvant être exprimé comme somme de deux nombres abondants est inférieur à cette limite.

Trouve la somme de tous les entiers naturels ne pouvant être écrits comme somme de deux nombres abondants.

Problème 24

Une permutation est un arrangement ordonné d'objets. Par exemple, 3124 est une permutation possible des chiffre 1, 2, 3, et 4. Si toutes les permutations d'un ensemble sont classées par ordre alphabétique ou numérique, on parle aussi d'ordre lexicographique. Les permutations lexicographiques de 0, 1 et 2 sont :

012   021   102   120   201   210

Quelle est la millionième permutation lexicographique de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 ?

Problème 25

La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence :

Fn = Fn−1 + Fn−2, où F1 = 1 et F2 = 1.

Ainsi ses 12 premiers termes sont :

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144

Le douzième terme, F12, est le premier terme de la suite à contenir trois chiffres.

Quel est le premier terme de la suite de Fibonacci contenant 1000 chiffres ?

Problème 26

Une fraction unitaire a un numérateur égal à 1. La représentation décimale des fractions unitaires de dénominateurs de 2 à 10 est :

1/20.5
1/30.(3)
1/40.25
1/50.2
1/60.1(6)
1/70.(142857)
1/80.125
1/90.(1)
1/100.1

où 0.1(6) signifie 0.166666..., qui possède un cycle récurrent à 1 chiffre. On peut voir que 1/7 possède un cycle récurrent à 6 chiffres.

Trouve la valeur d < 1000 pour laquelle 1/d le plus long cycle récurrent dans sa représentation décimale.

Problème 27

Euler a publié la remarquable expression quadratique :

n2 + n + 41

Il s'avère que cette formule produit 40 nombres premiers pour les valeurs de n allant de 0 à 39. Cependant, pour n = 40, 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 est divisible par 41, et pour n = 41, 412 + 41 + 41 est clairement divisible par 41.

Avec des ordinateurs, l'incroyable formule  n2 − 79n + 1601 fut découverte ; elle produit 80 nombres premiers pour n variant de 0 à 79. Le produit des coefficients, −79 et 1601, est −126479.

On considère des expressions quadratiques de la forme :

n2 + an + b, où |a| < 1000 et |b| < 1000

où |n| est la valeur absolue de n
par exemple : |11| = 11 et |−4| = 4

Trouve le produit des coefficients a et b pour l'expression quadratique produisant le plus de nombres premiers pour des valeurs consécutives de n commençant par n = 0.

Problème 28

En partant du nombre 1 et en avançant selon le sens horaire, une spirale 5⨉5 est formée comme suit :

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Il peut être vérifié que la somme des nombres sur les diagonales (en rouge) est 101.

Quelle serait la somme des nombres sur les diagonales d'une spirale 1001⨉1001 formée de la même manière ?

Problème 29

Considérons toutes les combinaisons entières de ab pour 2 ≤ a ≤ 5 et 2 ≤ b ≤ 5:

22=4, 23=8, 24=16, 25=32
32=9, 33=27, 34=81, 35=243
42=16, 43=64, 44=256, 45=1024
52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

Si elles sont classées par ordre croissant, où chaque doublon est éliminé, nous obtenons une suite de 15 termes distincts :

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Combien de termes distincts y a-t-il dans la suite générée par ab pour 2 ≤ a ≤ 100 et 2 ≤ b ≤ 100 ?

Problème 30

Étonnamment il n'y a que trois nombres pouvant être écrits comme la somme des quatrièmes puissances de leurs chiffres :

1634 = 14 + 64 + 34 + 44
8208 = 84 + 24 + 04 + 84
9474 = 94 + 44 + 74 + 44

Note : 1 = 14 n'est pas une somme, et n'est donc pas inclus.

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Trouve la somme de tous les nombres pouvant être écrits comme la somme des cinquièmes puissance de leurs chiffres.

Problème 31

La devise de la zone Euro est l'Euro (€), avec huit types de pièces en circulation:

1c, 2c, 5c, 10c, 20c, 50c, 1€ (100c) et 2€ (200c).

Il est possible de faire 2€ de manière suivante :

1⨉1€ + 1⨉50c + 2⨉20c + 1⨉5c + 1⨉2c + 3⨉1c

De combien de façons peut-on obtenir 2€ avec n'importe quel nombre de pièces ?

Problème 32

Un nombre à n chiffres sera dit n-pandigital s'il contient tous les chiffres de 1 à n exactement une fois ; par exemple, le nombre à 5 chiffres 15234 est 5-pandigital.

Le nombre 7254 est particulier, car la formule-produit 39 ⨉ 186 = 7254 est 9-pandigitale.

Trouve la somme de tous les nombres pouvant être décrits par une formule-produit pandigitale.

Indication : certains nombres peuvent être obtenus selon plusieurs produits différents ; assure-toi de ne les compter qu'une seule fois.

Problème 33

La fraction 49/98 est une fraction curieuse, car un mathématicien inexpérimenté désirant la simplifier pourrait être conduit à croire que la formule 49/98 = 4/8, correcte, est obtenue en éliminant les 9.

Les exemples de type 30/50 = 3/5, sont considérés triviaux.

Il y a exactement 4 exemples non-triviaux de ce type de fractions dont la valeur est inférieure à 1, et dont le numérateur et le dénominateurs contiennent deux chiffres.

Si le produit de ces quatre fractions est écrit sous forme réduite, quel en est le dénominateur ?

Problème 34

145 est un nombre curieux, puisque 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Trouve la somme de tous les nombres qui sont égaux à la somme de la factorielle de leurs chiffres.

Note : comme 1! = 1 et 2! = 2 ne sont pas des sommes à proprement parler ils ne sont pas inclus.

Problème 35

197 est un nombre premier circulaire car toutes les rotations de ses chiffres : 197, 971, et 719, sont des nombres premiers.

Il y a treize nombres premiers circulaires inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, et 97.

Combien y en a-t-il inférieurs à un million ?

Problème 36

Le décimal 585 = 10010010012 (binaire), est un nombre palindrome dans les deux bases.

Trouve la somme de tous les nombres palindromes à la fois en base 10 et en base 2 inférieurs à un million.

Note : dans chacune des bases un nombre palindrome ne peut débuter par 0.

Retour aux énigmes

Accueil