Problème 1

Si nous listons les entiers naturels strictement inférieurs à 10 multiples de 3 ou de 5, nous obtenons 3, 5, 6 et 9. La somme de ces multiples est 23.

Trouve la somme de tous les multiples de 3 ou de 5 strictement inférieurs à 1000.

Problème 2

Chaque nouveau terme d'une suite de Lucas est obtenu en additionnant les deux termes le précédant. La suite de Lucas dont les deux premiers termes sont 1 et 2 est une sous-suite de la suite de Fibonacci et a pour dix premiers termes :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Trouve la somme de tous les termes pairs de cette suite n'excédant pas quatre millions.

Problème 3

Les facteurs premiers de 13195 sont 5, 7, 13 et 29.

Quel est le plus grand facteur premier de 600851475143 ?

Problème 4

Un nombre palindrome se lit identiquement dans les deux sens. Le plus grand nombre palindrome issu du produit de deux nombres à 2 chiffres est 9009 = 91 ⨉ 99.

Trouve le plus grand nombre palindrome issu du produit de deux nombres à 3 chiffres.

Problème 5

2520 est le plus petit entier divisible par tous les nombres de 1 à 10.

Quel est le plus petit entier divisible par tous les nombres de 1 à 20 ?

Problème 6

La somme des carrés des dix premiers entiers naturels est :

Le carré de la somme des dix premiers nombres naturels est :

Donc la différence entre la somme des carrés des dix premiers entiers naturels et le carré de leur somme est 3025 − 385 = 2640.

Trouve la différence entre la somme des carrés des cent premiers entiers naturels et le carré de leur somme.

Problème 7

En observant la liste des six premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, et 13, nous voyons que le 6^e nombre premier est 13.

Quel est 10001^e nombre premier ?

Problème 8

Trouve le plus grand produit de cinq chiffres consécutifs dans ce nombre à 1000 chiffres.

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Problème 9

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers naturels, a < b < c, pour lequel

Par exemple, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Il existe exactement un triplet pythagoricien pour lequel a + b + c = 1000.
Trouve le produit abc.

Problème 10

La somme de tous les nombres premiers inférieurs à 10 est 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Trouve la somme de tous les nombres premiers inférieurs à deux millions.

Problème 11

Dans la grille 20⨉20 ci-dessous, quatre nombres diagonalement adjacents ont été colorés en rouge.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Le produit de ces nombres est 26 ⨉ 63 ⨉ 78 ⨉ 14 = 1788696.

Quel est le plus produit de quatre nombres adjacents selon n'importe quelle direction (horizontale, verticale, ou diagonale) dans la grille ?

Problème 12

La suite des nombre triangulaires est générée en additionnant les n premiers entiers naturels. Ainsi le 7^e nombre triangulaire est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Les dix premiers sont :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Listons les diviseurs des sept premiers nombre triangulaires :

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Nous pouvons voir que 28 est le plus premier nombre triangulaire à avoir plus de 5 diviseurs.

Quel est la valeur du plus petit nombre triangulaire possédant plus de cinq cents diviseurs ?

Problème 13

Quels sont les dix premiers chiffres de la somme des nombres à 50 chiffres qui suivent ?

Problème 14

Pour chaque entier naturel, on définit la suite itérative suivante :

n n/2 (n pair)
n 3n + 1 (n impair)

En appliquant cette règle en commençant avec 13, la suite générée est :

13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Cette séquence, débutant à 13 et finissant à 1, contient 10 termes. Bien que ce n'ait pas encore été démontré (problème de Collatz, ou conjecture de Syracuse), il est conjecturé que pour tout entier initial la suite générée finit à 1.

Quel entier initial strictement inférieur à un million produit la plus longue chaine ?

Note : les termes intermédiaires peuvent dépasser un million.

Problème 15

En commençant au coin nord-ouest de cette grille 2⨉2, il y a 6 chemins (sans retour vers l'arrière) jusqu'au coin sud-est.

Combien de chemins y a-t-il pour une grille 20⨉20 ?

Problème 16

2¹⁵ = 32768 et la somme des chiffres de ce nombre est 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Quelle est la somme des chiffres de 2¹⁰⁰⁰ ?

Problème 17

En anglais, si les nombres de 1 à 5 sont écrits en toutes lettres : one, two, three, four, five, alors il y a 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 lettres utilisées au total.

Si tous les nombres de 1 à 1000 (one thousand) étaient écrits en toutes lettres, combien de lettres seraient utilisées ?

Note : Les espaces et tirets ne comptent pas. Par exemple, 342 (three hundred and forty-two) contient 23 lettres, et 115 (one hundred and fifteen) contient 20 letters. L'utilisation de "and" est faite conformément à l'usage britannique en vigueur.

Problème 18

En partant du sommet du triangle ci-dessous et en descendant suivant des nombres adjacents, le total maximal de haut en bas est 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

De fait, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Trouve le total maximal de haut en bas pour le triangle ci-dessous :

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Note : Il n'y a que 16384 chemins différents, donc il est possible de résoudre ce problème en essayant chaque chemin. Cependant, le problème 67 est le même défi avec un triangle de cent lignes ; la force brute est (pour l'instant) inefficace, une méthode plus intelligente est requise ;o)

Problème 19

Les informations suivantes te sont données, mais tu préfères peut-être rechercher cela par toi-même.

• Le 1er janvier 1900 était un lundi.
• 30 jours comptent septembre,
  Avril, juin et novembre.
  Tous les autres en ont trente-et-un,
  Sauf février le plaisantin,
  Qui en compte vingt-huit, sans bluff.
  Et les années bissextiles, vingt-neuf.
• Une année bissextile a lieu chaque année divisible par 4, mais pas multiple de 100 sauf si divisible par 400.

Combien de dimanches sont tombés le premier jour du mois au cours du vingtième siècle (du 1^er janvier 1901 au 31 décembre 2000) ?

Problème 20

n! (prononcé factorielle n) signifie n ⨉ (n − 1) ⨉ ... ⨉ 3 ⨉ 2 ⨉ 1.

Trouve la somme des chiffres du nombre 100!.

Problème 21

Soit d(n) la somme des diviseurs propres de n (les diviseurs de n strictement inférieurs à n).
Si d(a) = b et d(b) = a, où a b, alors a et b forment une paire amicale et chacun des a et b est appelé nombre amical.

Par exemple, les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110 ; donc d(220) = 284. Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142 ; ainsi d(284) = 220.

Trouve la somme de tous les nombres amicaux inférieurs à 10000.

Problème 22

Le fichier names.txt contient plus de cinq mille prénoms anglo-saxons. Commence par le trier par ordre alphabétique. Puis après avoir calculé la valeur alphabétique de chaque prénom, multiplie cette valeur par sa position dans la liste alphabétique pour déterminer son score.

Ainsi, lorsque la liste est triée par ordre alphabétique, COLIN, qui vaut 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53, est le 938^e prénom dans la liste. Donc COLIN obtiendrait un score de 938 ⨉ 53 = 49714.

Quelle est la somme des scores de tous les prénoms du fichier ?

Problème 23

Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, la somme des diviseurs propres de 28 est 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, ce qui montre que 28 est un nombre parfait.

Un nombre n est dit déficient si la somme de ses diviseurs propres est < n et abondant si cette somme est > n.

Puisque 12 est le plus petit nombre abondant (1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16), le plus petit nombre pouvant être écrit comme somme de 2 nombres abondants est 24. Une analyse montrerait que tous les entiers strictement supérieurs à 28123 peuvent être écrits comme somme de deux nombres abondants. Cependant, cette limite ne peut être abaissée par analyse bien qu'il soit connu que le plus grand nombre ne pouvant être exprimé comme somme de deux nombres abondants est inférieur à cette limite.

Trouve la somme de tous les entiers naturels ne pouvant être écrits comme somme de deux nombres abondants.

Problème 24

Une permutation est un arrangement ordonné d'objets. Par exemple, 3124 est une permutation possible des chiffre 1, 2, 3, et 4. Si toutes les permutations d'un ensemble sont classées par ordre alphabétique ou numérique, on parle aussi d'ordre lexicographique. Les permutations lexicographiques de 0, 1 et 2 sont :

012   021   102   120   201   210

Quelle est la millionième permutation lexicographique de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 ?

Problème 25

La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence :

F_n = F_n−1 + F_n−2, où F₁ = 1 et F₂ = 1.

Ainsi ses 12 premiers termes sont :

F₁ = 1
F₂ = 1
F₃ = 2
F₄ = 3
F₅ = 5
F₆ = 8
F₇ = 13
F₈ = 21
F₉ = 34
F₁₀ = 55
F₁₁ = 89
F₁₂ = 144

Le douzième terme, F₁₂, est le premier terme de la suite à contenir trois chiffres.

Quel est le premier terme de la suite de Fibonacci contenant 1000 chiffres ?

Problème 26

Une fraction unitaire a un numérateur égal à 1. La représentation décimale des fractions unitaires de dénominateurs de 2 à 10 est :

1/2	=	0.5
1/3	=	0.(3)
1/4	=	0.25
1/5	=	0.2
1/6	=	0.1(6)
1/7	=	0.(142857)
1/8	=	0.125
1/9	=	0.(1)
1/10	=	0.1

où 0.1(6) signifie 0.166666..., qui possède un cycle récurrent à 1 chiffre. On peut voir que ¹/₇ possède un cycle récurrent à 6 chiffres.

Trouve la valeur d < 1000 pour laquelle ¹/_d le plus long cycle récurrent dans sa représentation décimale.

Problème 27

Euler a publié la remarquable expression quadratique :

n² + n + 41

Il s'avère que cette formule produit 40 nombres premiers pour les valeurs de n allant de 0 à 39. Cependant, pour n = 40, 40² + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 est divisible par 41, et pour n = 41, 41² + 41 + 41 est clairement divisible par 41.

Avec des ordinateurs, l'incroyable formule  n² − 79n + 1601 fut découverte ; elle produit 80 nombres premiers pour n variant de 0 à 79. Le produit des coefficients, −79 et 1601, est −126479.

On considère des expressions quadratiques de la forme :

n² + an + b, où |a| < 1000 et |b| < 1000

où |n| est la valeur absolue de n
par exemple : |11| = 11 et |−4| = 4

Trouve le produit des coefficients a et b pour l'expression quadratique produisant le plus de nombres premiers pour des valeurs consécutives de n commençant par n = 0.

Problème 28

En partant du nombre 1 et en avançant selon le sens horaire, une spirale 5⨉5 est formée comme suit :

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Il peut être vérifié que la somme des nombres sur les diagonales (en rouge) est 101.

Quelle serait la somme des nombres sur les diagonales d'une spirale 1001⨉1001 formée de la même manière ?

Problème 29

Considérons toutes les combinaisons entières de a^b pour 2 ≤ a ≤ 5 et 2 ≤ b ≤ 5:

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

Si elles sont classées par ordre croissant, où chaque doublon est éliminé, nous obtenons une suite de 15 termes distincts :

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Combien de termes distincts y a-t-il dans la suite générée par a^b pour 2 ≤ a ≤ 100 et 2 ≤ b ≤ 100 ?

Problème 30

Étonnamment il n'y a que trois nombres pouvant être écrits comme la somme des quatrièmes puissances de leurs chiffres :

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴
8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴
9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

Note : 1 = 1⁴ n'est pas une somme, et n'est donc pas inclus.

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Trouve la somme de tous les nombres pouvant être écrits comme la somme des cinquièmes puissance de leurs chiffres.

Problème 31

La devise de la zone Euro est l'Euro (€), avec huit types de pièces en circulation:

1c, 2c, 5c, 10c, 20c, 50c, 1€ (100c) et 2€ (200c).

Il est possible de faire 2€ de manière suivante :

1⨉1€ + 1⨉50c + 2⨉20c + 1⨉5c + 1⨉2c + 3⨉1c

De combien de façons peut-on obtenir 2€ avec n'importe quel nombre de pièces ?

Problème 32

Un nombre à n chiffres sera dit n-pandigital s'il contient tous les chiffres de 1 à n exactement une fois ; par exemple, le nombre à 5 chiffres 15234 est 5-pandigital.

Le nombre 7254 est particulier, car la formule-produit 39 ⨉ 186 = 7254 est 9-pandigitale.

Trouve la somme de tous les nombres pouvant être décrits par une formule-produit pandigitale.

Problème 33

La fraction ⁴⁹/₉₈ est une fraction curieuse, car un mathématicien inexpérimenté désirant la simplifier pourrait être conduit à croire que la formule ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈, correcte, est obtenue en éliminant les 9.

Les exemples de type ³⁰/₅₀ = ³/₅, sont considérés triviaux.

Il y a exactement 4 exemples non-triviaux de ce type de fractions dont la valeur est inférieure à 1, et dont le numérateur et le dénominateurs contiennent deux chiffres.

Si le produit de ces quatre fractions est écrit sous forme réduite, quel en est le dénominateur ?

Problème 34

145 est un nombre curieux, puisque 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Trouve la somme de tous les nombres qui sont égaux à la somme de la factorielle de leurs chiffres.

Note : comme 1! = 1 et 2! = 2 ne sont pas des sommes à proprement parler ils ne sont pas inclus.

Problème 35

197 est un nombre premier circulaire car toutes les rotations de ses chiffres : 197, 971, et 719, sont des nombres premiers.

Il y a treize nombres premiers circulaires inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, et 97.

Combien y en a-t-il inférieurs à un million ?

Problème 36

Le décimal 585 = 1001001001₂ (binaire), est un nombre palindrome dans les deux bases.

Trouve la somme de tous les nombres palindromes à la fois en base 10 et en base 2 inférieurs à un million.

Note : dans chacune des bases un nombre palindrome ne peut débuter par 0.