L'idée pour résoudre cette énigme est de traduire le fait que chaque rectangle possède un côté entier par une propriété additive sur les rectangles ayant un coté entier. Or, qui dit additivité dit intégration.
Ainsi pour tout rectangle R, l'intégrale double sur R ∬_Re^2πi(x+y)dxdy est nulle ssi l'un des côtés de R est entier.
En effet en notant L et l la longueur et la largeur de R, l'intégrale vaut 1/(2πi)²(e^2πiL-1)(e^2πil-1). cqfd (historiquement, c'est la preuve originale de Brouwer, valable également pour des dimensions supérieures.)

Une autre solution à cette énigme consiste à prouver qu'il y a un côté du grand rectangle dont la longueur est entière à 1/p près pour tout nombre premier p . Pour cela on place le rectangle dans un repère cartésien ; les coordonnées des coins du grand rectangle sont alors (0;0), (l;0), (l;L), (0;L). On prend un grand nombre premier p et on procède à une homothétie de rapport p sur le rectangle (x;y)→(px;py). Notons qu'à l'issue de ce redimensionnement chaque petit rectangle a au moins un côté multiple de p. Enfin un nouveau rectangle et une nouvelle partition sont créés en associant à chaque coin ses coordonnées entières : (x;y )→([x];[y]). Cette opération conserve le fait que chaque petit rectangle a au moins un côté multiple de p, de plus chacun de ses côtés est entier. Le nouveau grand rectangle possède également des dimensions entières, son aire en tant que somme d'aires multiples de p, est un multiple de p. Donc, un de ses côtés est multiple de p. La différence de longueur entre ce côté et celui de l'ancien grand rectangle correspondant est strictement inférieure à 1. Donc la différence de longueur entre ces côtés des rectangles homothétisés par 1/p est strictement inférieure à 1/p. Cela étant vrai pour tout p, le côté en question du grand rectangle original est entier. cqfd